충격량과 운동량 — 에어백은 왜 덜 아플까

자동차가 벽에 부딪히면 사람은 앞으로 쏠리다가 멈춥니다. 에어백이 있으면 훨씬 덜 다칩니다. 그런데 에어백이 있든 없든 사람은 결국 달리던 속도에서 0 으로 멈춥니다. 잃는 속도가 같은데 왜 다치는 정도가 다를까요. 답은 멈추는 데 걸리는 시간에 있습니다.

운동량 — 움직임의 양

운동량은 물체의 질량과 속도를 곱한 양입니다. 무거울수록, 빠를수록 운동량이 크고, 운동량이 큰 물체일수록 멈추기 어렵습니다. 속도처럼 방향이 있어서, 반대로 움직이는 물체의 운동량은 음(−)으로 씁니다.

트럭이 자전거보다 세우기 어려운 것은 질량 때문이고, 같은 공이라도 빠른 공이 손을 더 아프게 하는 것은 속도 때문입니다. 둘을 한 양으로 묶은 것이 운동량입니다.

충격량 — 운동량을 바꾸는 것

물체의 운동량을 바꾸려면 힘을 시간 동안 주어야 합니다. 힘과 시간을 곱한 양이 충격량이고, 충격량은 운동량이 변한 양과 정확히 같습니다. 뉴턴의 운동 법칙 $F = ma$ 에서 가속도 $a$ 가 속도 변화를 시간으로 나눈 것이니, 양변에 시간을 곱하면 바로 나옵니다.

힘이 일정하지 않을 때는 힘·시간 그래프에서 곡선 아래 넓이가 충격량입니다. 그림의 두 봉우리는 모양이 전혀 다르지만 넓이가 같습니다. 같은 속도로 달리던 사람이 멈추는 것이라면 운동량의 변화, 곧 충격량은 정해져 있고, 그것을 짧고 높게 받느냐 길고 낮게 받느냐만 다릅니다.

시간을 늘리면 힘이 줄어듭니다

충격량의 식을 힘에 대해 다시 쓰면 답이 보입니다. 운동량의 변화량 $\Delta p$ 가 정해져 있을 때, 시간 $\Delta t$ 가 길수록 힘 $F$ 는 작아집니다.

질량 2 kg 인 공이 5 m/s 로 날아와 멈추면 운동량의 변화량은 10 kg·m/s 입니다. 이 공을 0.1 초 만에 멈추면 평균 힘은 100 뉴턴이고, 0.5 초에 걸쳐 멈추면 20 뉴턴입니다. 다섯 배 오래 받으면 힘은 다섯 배 작아집니다.

에어백이 하는 일이 바로 이것입니다. 사람이 딱딱한 핸들에 부딪히면 몇 백분의 일 초 만에 멈추지만, 에어백은 눌리면서 멈추는 시간을 길게 늘려 줍니다. 운동량의 변화량은 같은데 시간이 길어졌으니 몸이 받는 힘이 작아집니다. 높은 곳에서 뛰어내릴 때 무릎을 굽히는 것, 야구공을 받을 때 글러브를 뒤로 빼는 것, 자동차의 범퍼와 안전모의 완충재, 번지 점프의 늘어나는 줄이 모두 같은 원리입니다.

같은 이유로 유리컵은 방석 위에 떨어지면 멀쩡하고 시멘트 바닥에 떨어지면 깨집니다. 떨어지는 높이가 같으면 바닥에 닿을 때의 운동량도 같은데, 방석은 눌리며 멈추는 시간을 늘려 주고 시멘트는 그러지 못합니다. 택배 상자의 완충재, 운동화 밑창의 푹신한 층, 체조 경기장의 두꺼운 매트가 모두 시간을 벌어 힘을 줄이는 장치입니다.

반대로 시간을 줄여 큰 힘을 얻기도 합니다. 망치로 못을 박을 때, 방망이로 공을 칠 때, 격파를 할 때는 딱딱한 것끼리 아주 짧은 시간에 부딪혀 힘을 크게 만듭니다.

시험에서는 이렇게 나옵니다

• 운동량 계산. $p = mv$ 에 방향을 넣어 계산하고, 반대 방향은 음(−).
• 충격량은 운동량의 변화량. 벽에 부딪혀 같은 빠르기로 되튀는 공은 속도의 부호가 바뀌므로 변화량이 $2mv$, 부딪혀 멈추는 공은 $mv$.
• 힘·시간 그래프의 넓이가 충격량. 넓이가 같으면 충격량이 같음.
• 충격량이 같을 때 시간이 길면 힘이 작음. 에어백·매트·무릎 굽히기가 이 항목.
• 단위. 운동량의 kg·m/s 와 충격량의 N·s 는 같은 단위.

자주 헷갈리는 것

• "에어백은 충격량을 줄인다" — 충격량, 곧 운동량의 변화량은 같습니다. 줄어드는 것은 힘입니다.
• "되튀는 공이 멈추는 공보다 힘을 덜 받는다" — 반대입니다. 되튀면 운동량의 변화량이 두 배라, 같은 시간 동안 부딪혔다면 힘도 두 배입니다.
• "충격량은 힘이다" — 힘에 시간을 곱한 것입니다. 작은 힘이라도 오래 작용하면 큰 충격량이 됩니다.

정리합니다. 운동량은 질량과 속도의 곱이고, 충격량은 힘과 시간의 곱이며 운동량의 변화량과 같습니다. 변화량이 정해져 있으면 시간을 늘릴수록 힘이 줄어들고, 에어백과 굽힌 무릎이 그 시간을 벌어 줍니다.