도플러 효과 — 구급차 소리는 왜 지나가며 낮아질까

길가에 서 있는데 구급차가 사이렌을 울리며 달려옵니다. 다가올 때는 "삐—" 하고 높게 들리다가 눈앞을 지나는 순간 "뿌—" 하고 갑자기 낮아집니다. 구급차 안에서 듣는 사이렌은 처음부터 끝까지 같은 높이입니다. 소리를 내는 쪽은 아무것도 바꾸지 않았는데 듣는 쪽에서 높이가 바뀌는 것, 이것이 도플러 효과입니다. 왜 그렇게 들리는지를 파동의 그림에서부터 따라가 봅니다.

파원이 다가오면 파면이 촘촘해집니다

소리는 공기 속을 퍼져 가는 파동이고, 사이렌은 일정한 박자로 파면을 하나씩 내보냅니다. 파원이 서 있으면 파면은 같은 중심에서 퍼지는 동심원이고 어느 방향에서 재도 파면 사이의 거리, 곧 파장이 같습니다.

파원이 오른쪽으로 움직이면 사정이 달라집니다. 파면 하나를 내보낸 뒤 파원이 조금 오른쪽으로 가서 다음 파면을 내보내므로, 뒤에 내보낸 파면일수록 중심이 오른쪽에 있습니다. 그래서 파원의 앞쪽에서는 파면이 겹치듯 촘촘해지고 뒤쪽에서는 성기게 벌어집니다. 소리의 속력은 공기가 정하므로 그대로입니다. 속력이 같은데 파장이 짧아졌으니 앞쪽의 관측자는 파면을 더 자주 만나고, 그만큼 진동수가 커져 높은 소리로 듣습니다. 뒤쪽의 관측자는 반대로 낮은 소리를 듣습니다. 구급차가 눈앞을 지나는 순간은 앞쪽에서 뒤쪽으로 바뀌는 순간이라 높이가 단번에 떨어집니다.

관측자가 움직여도 높이가 바뀝니다

이번에는 사이렌이 서 있고 관측자가 사이렌을 향해 달려갑니다. 파장은 그대로이지만, 관측자가 파면을 마중 나가는 셈이라 가만히 있을 때보다 파면을 더 자주 만납니다. 역시 진동수가 커져 높게 들립니다. 사이렌에서 멀어지면 파면이 따라오는 것을 기다리는 꼴이라 덜 자주 만나고 낮게 들립니다.

둘을 한 식에 담으면 이렇습니다. 소리의 속력을 $v$, 관측자의 속력을 $v_o$, 파원의 속력을 $v_s$ 라고 할 때, 관측자가 듣는 진동수 $f'$ 은

분자의 $v_o$ 는 관측자가 파면을 더 자주(또는 덜 자주) 만나는 효과이고, 분모의 $v_s$ 는 파장이 짧아지는(또는 길어지는) 효과입니다. 두 효과는 결과가 닮았지만 뿌리가 다릅니다. 파장을 바꾸는 것은 파원의 운동뿐이고, 관측자의 운동은 파장을 바꾸지 못합니다. 그래서 같은 속력이라도 파원이 움직일 때와 관측자가 움직일 때의 진동수는 조금 다릅니다.

빛에서는 색이 밀립니다

빛도 파동이라 광원이 멀어지면 파장이 길어집니다. 눈에 보이는 빛에서 긴 파장은 붉은색이니, 멀어지는 별빛의 스펙트럼은 흡수선이 붉은 쪽으로 밀립니다. 이것이 적색 편이이고, 다가오는 별빛은 파란 쪽으로 밀리는 청색 편이를 보입니다. 밀린 정도를 재면 별이 우리에게서 얼마나 빨리 멀어지는지를 알 수 있고, 멀리 있는 은하일수록 적색 편이가 크다는 것이 허블 법칙의 출발점이었습니다.

생활 속에도 같은 원리가 있습니다. 과속 단속 카메라와 스피드건은 전파를 쏘아 자동차에 반사되어 돌아온 전파의 진동수가 얼마나 바뀌었는지로 속력을 잽니다. 기상 레이더는 빗방울에서 돌아온 전파로 바람이 레이더 쪽으로 부는지 멀어지는지를 알아내고, 병원의 초음파 검사는 혈관 속 피가 흐르는 속력을 같은 방법으로 잽니다. 별이 보이지 않는 행성에 끌려 조금씩 흔들리는 것을 스펙트럼의 밀림으로 잡아내어 외계 행성을 찾는 것도 도플러 효과입니다.

시험에서는 이렇게 나옵니다

• 파원이 다가올 때 바뀌는 것 고르기. 파장 감소 · 진동수 증가 · 속력 그대로. 멀어질 때는 파장 증가 · 진동수 감소 · 속력 그대로.
• 파면 그림 읽기. 파면이 촘촘한 쪽이 파원이 가는 방향이고, 그쪽의 관측자가 높은 소리를 듣습니다. 파면 중심의 이동으로 파원의 속력을 구하기도 합니다.
• 파원과 관측자 가르기. 파원이 움직이면 파장이 바뀌고, 관측자가 움직이면 파장은 그대로이고 파면을 만나는 횟수가 바뀝니다.
• 식에 넣기. 가까워지면 진동수가 커지는 쪽으로 부호를 고릅니다. 관측자가 다가가면 분자에 더하고, 파원이 다가오면 분모에서 뺍니다.
• 빛의 적색 편이와 청색 편이. 멀어지면 붉은 쪽, 다가오면 파란 쪽. 흡수선의 밀린 정도가 클수록 빠릅니다.

자주 헷갈리는 것

• "소리가 커졌다 작아지는 것이 도플러 효과다" — 크기가 아니라 높이입니다. 크기는 거리 때문에 바뀌는 것이고, 도플러 효과는 진동수가 바뀌는 것입니다.
• "파원이 다가오면 소리가 빨리 온다" — 소리의 속력은 공기가 정하므로 그대로입니다. 바뀌는 것은 파장과 진동수입니다.
• "구급차가 지나가는 동안 소리가 서서히 낮아진다" — 다가오는 동안은 높은 소리, 멀어지는 동안은 낮은 소리로 거의 일정하고, 옆을 지나는 순간에 단번에 떨어집니다.
• "파원 안에서 듣는 사람도 높은 소리를 듣는다" — 파원과 함께 움직이는 사람에게는 파면이 늘 같은 간격으로 오므로 원래의 높이입니다.
• "관측자가 다가가는 것과 파원이 다가오는 것은 똑같다" — 결과는 닮았지만 파장이 바뀌는 쪽은 파원이 움직일 때뿐입니다. 진동수도 같은 속력에서 조금 다릅니다.

정리합니다. 파원이 다가오면 뒤에 내보낸 파면이 앞의 파면을 따라잡아 앞쪽의 파장이 짧아지고 진동수가 커져 높은 소리가 되며, 멀어지면 반대입니다. 관측자가 움직일 때는 파장은 그대로이고 파면을 만나는 횟수가 바뀝니다. 빛에서는 같은 일이 적색 편이와 청색 편이로 나타나 별과 은하의 속력을 재는 자가 됩니다.