케플러 법칙 — 행성은 왜 태양에 가까울 때 빨리 돌까

지구는 1월 초에 태양에 가장 가깝고 7월 초에 가장 멉니다. 그런데 가까운 1월 무렵에는 지구가 궤도를 조금 더 빨리 지나가고, 먼 7월 무렵에는 조금 느리게 지나갑니다. 행성은 왜 일정한 빠르기로 돌지 않을까요? 17세기 초 케플러가 화성의 관측 기록을 붙들고 찾아낸 세 가지 규칙, 케플러 법칙이 그 답을 줍니다.

궤도는 원이 아니라 타원입니다

첫째 법칙은 타원 궤도 법칙입니다. 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원을 그리며 돕니다. 타원에는 초점이 둘 있는데, 태양은 그중 하나에 있고 다른 하나는 비어 있습니다. 그래서 태양은 궤도의 한가운데가 아니라 한쪽으로 치우쳐 있고, 행성과 태양 사이의 거리가 계속 바뀝니다. 가장 가까운 자리가 근일점, 가장 먼 자리가 원일점입니다.

타원이 얼마나 찌그러졌는지는 이심률로 나타냅니다. 원은 이심률이 0 이고, 길쭉할수록 1 에 가까워집니다. 지구의 이심률은 0.017 로 거의 원입니다. 그림의 궤도는 차이를 보이려고 크게 과장한 것입니다.

케플러가 타원을 찾아낸 것은 화성 덕분입니다. 함께 일하던 튀코 브라헤가 남긴 정밀한 관측 기록에 원 궤도를 아무리 맞춰도 화성의 위치가 조금씩 어긋났습니다. 화성은 이심률이 0.093 으로 행성 가운데 큰 편이라 원과의 차이가 관측에 드러났던 것입니다. 원을 버리고 타원을 놓자 비로소 기록과 맞았습니다.

가까우면 빠르고 멀면 느립니다

둘째 법칙은 면적 속도 일정 법칙입니다. 태양과 행성을 잇는 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 넓이는 늘 같습니다. 근일점 근처에서는 선분이 짧으니 같은 넓이를 채우려면 궤도를 따라 길게 가야 하고, 원일점 근처에서는 선분이 기니 조금만 가도 같은 넓이가 됩니다. 그래서 행성은 근일점에서 가장 빠르고 원일점에서 가장 느립니다. 지구도 마찬가지라 근일점이 있는 1월 무렵에 가장 빠르고, 원일점이 있는 7월 무렵에 가장 느립니다.

왜 그럴까요? 행성이 원일점에서 근일점 쪽으로 갈 때는 태양을 향해 떨어지는 셈이라 태양의 중력이 행성을 앞으로 당겨 빨라지게 합니다. 근일점을 지나 멀어질 때는 중력이 뒤에서 잡아당겨 느려집니다. 중력이 궤도를 붙잡는 원리가 빠르기의 변화까지 만드는 것입니다.

멀수록 한 바퀴가 오래 걸립니다

셋째 법칙은 조화 법칙입니다. 공전 주기의 제곱은 궤도 긴반지름의 세제곱에 비례합니다. 주기를 년, 긴반지름을 AU(태양과 지구 사이의 평균 거리)로 재면 비례 상수가 1 이 됩니다.

먼 행성은 돌아야 할 길이 길 뿐 아니라 태양의 중력이 약해 움직임도 느립니다. 그래서 거리가 두 배가 되면 주기는 두 배보다 훨씬 길어집니다. 이 법칙은 태양을 도는 모든 천체에 같이 성립하므로, 혜성의 주기만 알아도 궤도의 크기를 구할 수 있습니다.

시험에서는 이렇게 나옵니다

• 근일점과 원일점 비교. 근일점에서 공전 속도 최대 · 태양과의 거리 최소 · 받는 중력 최대. 원일점은 모두 반대.
• 면적 그림 읽기. 같은 시간 간격으로 찍은 행성의 자리에서 부채꼴의 넓이가 같고, 점 사이의 호가 긴 쪽이 빠른 구간입니다.
• 이심률 비교. 이심률이 클수록 근일점과 원일점의 거리 차이와 속도 차이가 모두 커집니다.
• 조화 법칙 계산. 긴반지름이 4 배면 주기는 8 배, 9 배면 27 배.
• 지구의 계절. 근일점이 1월이므로 거리는 계절의 원인이 아닙니다. 원인은 자전축의 기울기입니다.

자주 헷갈리는 것

• "태양은 타원의 중심에 있다" — 중심이 아니라 초점에 있습니다. 그래서 거리가 바뀝니다.
• "면적 속도가 일정하니 속력도 일정하다" — 일정한 것은 쓸고 지나가는 넓이의 빠르기이고, 궤도를 따라가는 속력은 계속 바뀝니다.
• "근일점에서 빠른 것은 태양이 밀어내기 때문이다" — 태양은 당기기만 합니다. 다가오는 동안 당겨서 빨라지고, 멀어지는 동안 당겨서 느려집니다.
• "무거운 행성일수록 주기가 길다" — 주기는 긴반지름이 정하고 행성의 질량과는 거의 무관합니다.

정리합니다. 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원을 돌고, 태양과 잇는 선분이 같은 시간에 같은 넓이를 쓸어서 가까울 때 빠르고 멀 때 느립니다. 그리고 궤도가 클수록 주기는 긴반지름의 1.5 제곱으로 길어집니다.

그림 참고: [NASA Science, Orbits and Kepler's Laws](https://science.nasa.gov/solar-system/orbits-and-keplers-laws/) 의 도해 구도를 따라 다시 그렸습니다.