등가속도 운동 — 그래프의 넓이가 왜 이동 거리일까

물리 시간에 속도-시간 그래프를 배우면 꼭 듣는 말이 있습니다. "그래프 아래 넓이가 이동 거리다." 외우기는 쉬운데, 왜 그런지 물으면 막힙니다. 넓이는 가로 곱하기 세로이고 거리는 자로 재는 것인데 둘이 어떻게 같을까요. 답은 등가속도 운동의 그래프가 어떻게 생겼는지, 그리고 아주 짧은 시간 동안 물체가 무엇을 하는지에 있습니다.

등속이면 직사각형, 속도가 변하면 사다리꼴입니다

속도가 일정한 물체부터 봅니다. 4 m/s 로 3초를 가면 12 m 를 갑니다. 속도 곱하기 시간입니다. 속도-시간 그래프에서 이 운동은 높이 4 의 수평선이고, 0 초에서 3 초까지 그 선 아래는 가로 3, 세로 4 의 직사각형입니다. 넓이 12 — 이동 거리와 같습니다. 등속 운동에서는 넓이가 곧 거리라는 것이 거의 정의입니다.

속도가 일정하게 늘어나는 물체는 그래프가 기울어진 직선입니다. 이때 시간을 아주 잘게 쪼개 봅니다. 0.01 초 동안이라면 속도는 거의 변하지 않으니 그 짧은 시간 동안은 등속으로 보아도 됩니다. 그 조각의 이동 거리는 가는 직사각형 하나의 넓이입니다. 조각을 다 더하면 전체 이동 거리이고, 가는 직사각형을 다 더하면 직선 아래의 사다리꼴 넓이입니다. 조각을 더 잘게 쪼갤수록 계단 모양이 직선에 붙어, 둘은 결국 같아집니다. 그래서 속도가 변해도 그래프 아래 넓이는 이동 거리입니다. 이 논리는 직선이 아니라 어떤 곡선에서도 성립합니다.

세 공식은 모두 그 그래프에서 나옵니다

가속도가 $a$ 로 일정한 물체가 처음 속도 $v_0$ 로 출발하면 시간 $t$ 뒤의 속도는 직선의 기울기에서 바로 나옵니다.

둘째 식은 사다리꼴의 넓이 공식 그대로입니다 — 윗변과 아랫변의 평균에 높이를 곱한 것. 그래서 등가속도 운동의 평균 속도는 처음 속도와 나중 속도의 평균이고, 이동 거리는 평균 속도에 시간을 곱한 값입니다. 셋째 식은 시간이 주어지지 않을 때 씁니다. 정지에서 출발하면 $v_0 = 0$ 이라 $s = \frac{1}{2}at^{2}$ 이 되어, 이동 거리가 시간의 제곱에 비례합니다.

가속도·속도·위치의 세 그래프는 한 줄로 이어집니다. 가속도-시간 그래프의 넓이가 속도 변화량이고, 속도-시간 그래프의 넓이가 위치 변화량입니다. 거꾸로 위치-시간 그래프의 기울기가 속도, 속도-시간 그래프의 기울기가 가속도입니다. 정지에서 출발한 물체의 위치-시간 그래프가 점점 가팔라지는 곡선인 것은 속도가 계속 커지기 때문입니다.

자유 낙하가 등가속도 운동입니다

공기의 저항이 없을 때 떨어지는 물체는 가속도가 $g$ = 9.8 m/s² 로 일정합니다(중력장 내의 운동). 1초마다 속도가 9.8 m/s 씩 늘고, 정지에서 떨어뜨리면 1초 동안 4.9 m, 2초 동안 19.6 m, 3초 동안 44.1 m 를 떨어집니다. 매초 떨어지는 거리를 따로 보면 4.9 m, 14.7 m, 24.5 m 로 1 : 3 : 5 — 그래프의 사다리꼴 넓이가 점점 커지는 것이 그대로 보입니다. 위로 던져 올린 공도 같은 운동입니다. 올라갈 때는 속도가 9.8 m/s 씩 줄고, 최고점에서 0 이 되었다가, 내려올 때 다시 늘어납니다. 그동안 가속도는 내내 아래쪽으로 9.8 m/s² 입니다.

시험에서는 이렇게 나옵니다

• 속도-시간 그래프: 기울기 = 가속도, 넓이 = 변위. 시간축 아래의 넓이는 반대 방향의 변위라 빼고, 이동 거리를 물으면 더합니다.
• 위치-시간 그래프: 기울기 = 속도. 곡선이면 접선의 기울기. 가속도-시간 그래프: 넓이 = 속도 변화량.
• 평균 속도 = (처음 속도 + 나중 속도) ÷ 2 — 등가속도일 때만. 정지에서 출발하면 이동 거리는 $\frac{1}{2}at^{2}$.
• 시간이 없으면 $2as = v^{2} - v_0^{2}$. 정지에서 출발해 거리 $s$ 를 간 뒤의 속도는 $\sqrt{2as}$.
• 매초 이동 거리의 비 1 : 3 : 5 : 7 — 정지에서 출발한 등가속도 운동의 표시입니다.
• 던져 올린 물체: 최고점에서 속도 0, 가속도는 $g$. 올라간 시간과 내려온 시간이 같습니다.

자주 헷갈리는 것

• "그래프의 높이가 거리다" — 속도-시간 그래프의 높이는 속도입니다. 거리는 넓이입니다. 위치-시간 그래프라면 높이가 위치입니다.
• "속도가 0 이면 가속도도 0 이다" — 던져 올린 공은 최고점에서 속도가 0 이지만 가속도는 여전히 9.8 m/s² 입니다. 그래서 멈추지 않고 바로 떨어집니다.
• "가속도가 음수면 느려진다" — 가속도의 부호는 기준 방향에 대한 것입니다. 속도와 가속도의 방향이 같으면 빨라지고 반대면 느려집니다.
• "평균 속도는 언제나 (처음 + 나중) ÷ 2 다" — 속도가 일정하게 변할 때만입니다. 그래프가 곡선이면 넓이를 시간으로 나눠야 합니다.

정리합니다. 아주 짧은 시간 동안 물체는 등속으로 움직이므로 그 조각의 이동 거리는 가는 직사각형의 넓이이고, 조각을 다 더하면 속도-시간 그래프 아래의 넓이가 됩니다. 등가속도 운동에서 그 넓이는 사다리꼴이라 평균 속도에 시간을 곱한 값과 같고, 기울기가 가속도입니다. 세 공식도, 자유 낙하의 1 : 3 : 5 도 모두 이 한 그림에서 나옵니다.