운동량 보존 — 로켓은 우주에서 무엇을 밀고 나아갈까

수영 선수는 벽을 밀어 출발하고, 자동차는 바퀴로 땅을 밀어 나아갑니다. 그런데 로켓은 공기도 땅도 없는 우주에서 속도를 바꿉니다. 무엇을 밀고 가는 것일까요. 로켓이 미는 것은 자기가 뒤로 내던지는 가스입니다. 가스를 뒤로 던진 만큼 로켓은 앞으로 가고, 둘의 운동량을 합하면 던지기 전과 똑같습니다. 이것이 운동량 보존이고, 이 글은 그 한 문장이 왜 성립하는지에서 시작합니다.

서로 밀면 받는 힘이 같습니다

운동량은 질량과 속도를 곱한 양 $p = mv$ 입니다(충격량과 운동량). 속도가 방향을 가지니 운동량도 방향을 가지고, 물체에 힘이 작용한 시간만큼 운동량이 변합니다. 그러니 운동량이 변하지 않으려면 힘을 받지 않아야 합니다.

정지한 수레 두 대 사이에 압축한 용수철을 끼우고 놓아 봅니다. 용수철이 펴지면서 수레 A 는 B 를 밀고, B 는 같은 크기의 힘으로 A 를 되밉니다. 작용과 반작용입니다(뉴턴 운동 법칙). 두 수레가 받는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이며, 미는 시간도 같습니다. 그러면 두 수레가 얻는 운동량도 크기가 같고 방향이 반대라서, 더하면 0 — 처음과 같습니다.

질량이 2 kg 인 A 와 1 kg 인 B 라면, 운동량의 크기가 같아야 하니 속도는 질량에 반비례합니다. A 가 1 m/s 로 가면 B 는 반대로 2 m/s 입니다. 가벼운 쪽이 빠르게 튀어 나가는 것은 힘을 더 받아서가 아니라, 같은 운동량을 작은 질량으로 나누기 때문입니다.

바깥에서 힘이 오지 않으면 — 운동량 보존 법칙

두 수레를 하나의 묶음으로 보면, 용수철의 힘은 묶음 안에서 주고받는 힘입니다. 안에서 아무리 밀고 당겨도 묶음 전체의 운동량은 바뀌지 않습니다. 운동량을 바꿀 수 있는 것은 묶음 바깥에서 오는 힘뿐입니다. 그래서 운동량 보존 법칙은 이렇게 적습니다 — 외력이 작용하지 않으면 물체계의 운동량의 합은 일정하다.

충돌도 같습니다. 3 m/s 로 달리던 2 kg 수레가 정지한 1 kg 수레에 부딪혀 한 덩이로 붙어 간다면, 충돌 전 운동량의 합이 충돌 뒤에도 그대로여야 합니다.

충돌하는 짧은 순간 바닥의 마찰은 두 수레가 서로 미는 힘보다 훨씬 작아 무시할 수 있습니다. 그러나 운동 에너지는 보존되지 않습니다. 충돌 전 9 J 이던 운동 에너지가 충돌 뒤에는 6 J 이고, 차이는 열과 소리로 흩어졌습니다(에너지 보존). 운동량은 어떤 충돌에서도 보존되고, 운동 에너지는 튕겨 나가는 탄성 충돌에서만 보존됩니다.

로켓 — 던진 가스가 되미는 힘

로켓과 연료를 한 묶음으로 보면, 우주에서 이 묶음에는 외력이 거의 없습니다. 처음에 정지해 있었다면 운동량의 합은 0 이고, 가스를 뒤로 뿜어낸 뒤에도 0 이어야 합니다. 뒤로 날아간 가스의 운동량만큼 로켓은 앞으로 운동량을 얻습니다. 로켓이 미는 것은 공기가 아니라 자기가 내던진 가스이고, 가스가 로켓을 되미는 힘이 추진력입니다.

가스는 질량이 작지만 아주 빠르게 나가고, 로켓은 무겁지만 그만큼 천천히 속도를 얻습니다. 수레 둘이 갈라지던 것과 같은 그림입니다. 연료를 태울수록 로켓이 가벼워져, 같은 가스를 던져도 속도가 더 많이 붙습니다.

시험에서는 이렇게 나옵니다

• 방향을 먼저 정합니다. 오른쪽을 (+) 로 두면 왼쪽 속도는 (−). 운동량은 벡터라 부호를 빠뜨리면 합이 틀립니다.
• 정지에서 갈라지는 두 물체: 속도의 크기는 질량에 반비례. 운동량의 크기는 같습니다.
• 충돌: 전 운동량의 합 = 후 운동량의 합. 붙어 가면 공통 속도 $V$ 하나, 튕기면 두 속도.
• 운동 에너지는 탄성 충돌에서만 보존. 붙어 가는 충돌은 운동 에너지가 줍니다.
• 외력이 있으면(마찰·운동 방향의 중력) 운동량은 보존되지 않습니다. 다만 충돌 순간처럼 아주 짧은 시간이면 무시합니다.
• 충격량과 잇기: 한 물체가 받은 충격량 = 그 물체의 운동량 변화. 두 물체가 받은 충격량은 크기가 같고 방향이 반대입니다.

자주 헷갈리는 것

• "로켓은 공기를 밀고 올라간다" — 공기가 없는 우주에서도 로켓은 가속합니다. 로켓이 미는 것은 뒤로 던지는 가스입니다.
• "가벼운 물체가 빨리 튀어 나가는 것은 힘을 더 받았기 때문이다" — 받는 힘은 같습니다. 같은 운동량을 작은 질량으로 나누니 속도가 큰 것입니다.
• "운동량이 보존되면 운동 에너지도 보존된다" — 붙어 가는 충돌에서 운동량은 보존되지만 운동 에너지는 줍니다. 둘은 다른 법칙입니다.
• "충돌 뒤 두 물체 각각의 운동량이 보존된다" — 보존되는 것은 합입니다. 하나가 잃은 만큼 다른 하나가 얻습니다.

정리합니다. 서로 미는 두 물체는 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 같은 시간 동안 받으므로 운동량의 합이 변하지 않습니다. 외력이 없으면 물체계의 운동량의 합은 갈라지든 충돌하든 일정하고, 로켓은 뒤로 던진 가스의 운동량만큼 앞으로 운동량을 얻습니다. 운동 에너지는 탄성 충돌에서만 보존됩니다.