중력장 내의 운동 — 사과와 달은 같은 이유로 떨어진다

뉴턴이 떨어지는 사과를 보고 중력을 알아냈다는 이야기는 유명합니다. 하지만 사과가 떨어진다는 사실 자체는 누구나 알고 있었습니다. 뉴턴이 새로 한 생각은 다른 것이었습니다 — 사과를 끌어내리는 그 힘이 달에까지 닿는다. 그렇다면 왜 달은 떨어지지 않을까요. 이 물음의 답이 중력장 내의 운동의 전부입니다. 미리 말하면, 달도 떨어지고 있습니다.

질량이 있으면 서로 당깁니다

질량을 가진 두 물체는 서로를 당깁니다. 이 힘이 만유인력입니다. 크기는 두 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례합니다.

여기서 $G$ 는 어디서나 같은 상수입니다. 중요한 것은 $r^{2}$ 이 분모에 있다는 점입니다. 거리가 두 배가 되면 힘은 네 배로 약해집니다.

질량이 하나 놓이면 그 둘레의 공간이 성질을 갖습니다. 다른 질량을 갖다 놓으면 당겨지는 공간, 곧 중력장입니다. 중력장의 세기는 그 자리에 놓인 단위 질량이 받는 힘으로 정합니다.

이 값이 지표에서는 9.8 N/kg 입니다. 단위를 바꿔 쓰면 9.8 m/s², 곧 중력 가속도와 같은 수입니다. 같은 값을 힘으로 읽으면 중력장의 세기, 운동으로 읽으면 가속도입니다. 이 세기가 땅속 사정에 따라 조금씩 다르다는 것을 이용하는 것이 중력 이상 이야기입니다.

무거운 것이 더 빨리 떨어지지 않습니다

떨어지는 물체의 가속도를 구해 봅니다. 받는 힘은 $mg$ 이고, 가속도는 힘을 질량으로 나눈 값입니다.

질량이 두 배면 받는 힘도 두 배입니다. 그런데 그만큼 움직이기 어려워지기도 합니다. 두 효과가 정확히 상쇄되어 가속도는 질량과 무관해집니다. 공기를 뺀 통 속에서 깃털과 쇠구슬을 같이 놓으면 나란히 떨어지는 것이 그래서입니다.

평소에 깃털이 느리게 떨어지는 것은 중력이 약해서가 아니라 공기 저항 때문입니다. 저항은 면적이 넓고 가벼울수록 크게 작용합니다.

옆으로 던져도 떨어지는 시간은 같습니다

수평으로 던진 물체는 포물선을 그립니다. 이 운동은 두 방향으로 나눠 보면 간단해집니다.

• 수평 방향 — 중력은 아래로만 작용하니 수평으로는 힘이 없습니다. 처음 속도 그대로 등속입니다.
• 연직 방향 — 가만히 놓은 물체와 똑같이 자유 낙하합니다.

떨어진 높이 $y$ 에 처음 속도 $v_{0}$ 이 들어 있지 않습니다. 아무리 세게 던져도 땅에 닿는 시각은 같습니다. 세게 던지면 달라지는 것은 그동안 옆으로 간 거리뿐입니다.

달은 계속 떨어지고 있습니다

여기서 뉴턴의 생각이 나옵니다. 높은 산에서 대포를 수평으로 쏩니다. 세게 쏠수록 포탄은 멀리 가서 떨어집니다. 더 세게 쏘면 더 멀리 갑니다. 그런데 지구는 둥급니다. 포탄이 떨어지는 동안 지표면도 아래로 휘어 달아납니다.

속도를 계속 키우면 어느 순간, 포탄이 떨어지는 만큼 지표면이 꼭 그만큼 휘어 버립니다. 포탄은 영원히 땅에 닿지 못하고 지구를 돕니다. 이것이 원운동입니다.

그러니 달이 떨어지지 않는 것이 아닙니다. 달은 매 순간 지구 쪽으로 떨어지고 있고, 동시에 옆으로도 움직이고 있어서 떨어진 만큼 지구가 비켜 갈 뿐입니다. 우주 정거장 안이 무중력처럼 보이는 것도 같은 까닭입니다. 중력이 없는 것이 아니라, 정거장과 사람이 같이 떨어지고 있어서 서로 누르지 않는 것입니다.

시험에서는 이렇게 나옵니다

• 거리를 바꿔 만유인력 비교하기. 거리가 2배면 힘은 1/4, 3배면 1/9 입니다.
• 질량이 다른 두 물체의 자유 낙하 비교. 받는 힘은 다르고 가속도는 같습니다.
• 수평으로 던진 물체와 가만히 놓은 물체의 낙하 시간 비교. 같습니다.
• 수평 도달 거리 구하기. 먼저 높이로 시간을 구하고, 그 시간에 수평 속도를 곱합니다.
• 무중력 상태의 까닭 묻기. 중력이 사라진 것이 아니라 자유 낙하 중이라고 답해야 합니다.

자주 헷갈리는 것

• "무거운 물체가 먼저 떨어진다" — 공기가 없으면 같이 떨어집니다. 질량이 커지면 힘도 같은 비로 커집니다.
• "달에는 지구 중력이 닿지 않는다" — 닿습니다. 그 힘이 달을 궤도에 붙잡아 두는 바로 그 힘입니다.
• "수평으로 세게 던지면 늦게 떨어진다" — 수평 속도는 낙하 시간에 아무 영향이 없습니다.
• "우주에는 중력이 없다" — 지구 둘레의 궤도에도 중력은 충분히 셉니다. 무중력처럼 보이는 것은 같이 떨어지고 있기 때문입니다.

정리합니다. 질량이 있는 것끼리는 거리 제곱에 반비례하는 힘으로 당기고, 그 힘이 만드는 공간의 성질이 중력장입니다. 중력만 받는 물체의 가속도는 질량과 무관하며, 수평 운동과 연직 운동은 서로 간섭하지 않습니다. 이 둘을 이으면 사과의 낙하와 달의 공전이 같은 하나의 운동이 됩니다.